Fraktal



Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975\'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen sekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. Doğada görebilen örnekler örneğin bir kar tanesi ya da bazı bitkilerin yapısı dir.

Benoit Mandelbrot, IBM Laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun Teorisi, iktisat, emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti. Fakat sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştı. İletişim esnasında halen gürültüye bağlı hatalar oluşmaktaydı.

İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişi güzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük bveri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birere saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.

Yukarıdaki tanıma uyan dağılım fonksiyonuna sahip bir dizi, 19. yüzyılda yaşamış olan bir matematikçinin, Edwin Cantor'un anısına Cantor dizisi olarak bilinir. Cantor dizisini oluşturmak için L uzunluğunda bir doğru parçası alınır. Doğru parçasının ortadaki üçte birlik kısmı silinir. Artık L/3 uzunluğunda 2 adet doğru parçası vardır. Bu doğru parçalarının da ortadaki üçte birlik kısımları çıkarılır ve bu işlem msonsuza kadar tekrarlanırsa elde edilen yapının adı Cantor Tozudur. Bu tozun koordinatları bir Cantor Dizisi oluşturur. Cantor Tozu sonsuz adet noktadan oluşur ama toplam uzunluğu sıfırdır.

Mandelbrot, yukarıdaki gürültü dağılımını kullanarak sinyal gücünün arttırılmasının gürültüye bağlı hatalardan kaçınılamayacağını göstermiştir. Yapılması gereken hataları engellemek değil, düzeltecek bir mekanizma geliştirmektir.

Mandelbrot'nun kendi kendine sorduğu şu soru, daha sonraki çalışmalarını yönlendiren temel işlev olmuştur: "İngiltere sahil şeridinin uzunluğu nedir?" "Bu sorunun yanıt kullanmakta olduğunuz ölçüm aracının uzunluğuna bağlıdır." diyordu Mandelbrot. Mesela bir metrelik bir pergelin sahil boyunca yürütüldüğünü düşünün. Bulacağınız uzunluk yaklaşık bir değer olacaktır. Zira pergel, uzunluğu bir metreden daha kısa olan girinti ve çıkıntıları atlayacaktır. Pergeli yarım metreye indirdiğinizde bulacağınız sonuç bir öncekinden daha büyük, daha doğru, ama halen yaklaşık sonuç olacaktır. Bu sefer de pergel yarım metreden daha kısa olan girinti çıkıntıları ölçemeyecektir. Pergeli daha da küçülttüğünüzde elde edeceğiniz sonuç daha büyük ama halen hatalı bir değerdir. Bu zihinsel deneyi sonsuza kadar götürdüğünüzde ilginç ortaya ilginç sonuçlar çıkar. Sahil şeridi Euklides geometrisine uygun olsa idi(örneğin çember), pergel küçüldükçe yapılacak ölçüm gerçekten de çemberin çevresine eşit olacaktı. Ama sahil şeridi Mandelbrot'nun öngördüğü şekilde ise ölçek atom boyutlarına inene kadar bulunan uzunluk sürekli artmaya devam eder, ancak atom ölçeğinde sonlu bir değere gidebilir. Belki. Dikkat edilirse, Cantor Tozu'nda olduğu gibi burada da ölçü biriminden(bir anlamda gözlem boyutundan) bağımsız olarak hata halen mevcuttur.

Mandelbrot'nun bir sonraki sorusu ise şu olmuştur: " Bir iplik yumağının boyutu nedir?" Uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır. Daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir. Boyut sayısı üçe çıkmıştır. Daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir. Tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür. Mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir. O halde, yumağın gerçek boyutu nedir?



Mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduğunu ve bü pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuştur(Mandelbrot75). Mandelbrot'ya göre göre ölçek değiştiğinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı. 1975 yılında Mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: Fraktal boyut. Pütürlülük özelliği gösteren cisimler de faraktallar adını aldı.






KAYNAKLAR

(Freeman75) Freeman, W. J., Mass Action in the Nervous System, New York Academic Press, 1975.

(Freeman87a) Freeman, W. J., Methods of Analysis of Brain, Electrical and Magnetic Signals, ed. Gevins ve Remond, Elsevier, Newyork 1987.

(Freeman87b) Freeman, W. J., Simulation of Chaotic EEG Patterns with a Dynamical Model of the Olfactory System, Biol. Cyber. 56, 1987, pp.139-150.

(Freeman90) Freeman, W. J. Ve Yao, Y., Chaos in the Biodynamics of Pattern Recognition by Neural Networks, Proc. Int. Joint Conf. On Neural Networks, 1, 1990, pp.243-249.

(Gleick95) Gleick, J., Kaos, çev.F.Üçcan, Tübitak Yayınları, Ankara, 1995.

(Landau45) Landau, L. On the Problem of Turbulence, Dokl. Akad. Nauk. SSR, 1945.

(Itoh99) Itoh, M., Spread Spectrum Communication via Chaos, J. Bifurcation and Chaos, 9(1), 1999, pp.153-213.

(Lorenz63) Lorenz, E., Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atmos. Sci. 1963, pp.130-141.

(Mandelbrot75) Mandelbrot, B., Les Objects Fractals, Flammarion, Paris, 1975.

(Ruelle71) Ruelle, D. Ve Takens, F., On The Nature of Turbulence, Com. Math. Phys., 20, 1971, pp.167-192.

(Ruelle94) Ruelle, D., Raslantı ve Kaos, çev. D. Yurteren, Tübitak Yayınları, Ankara, 1994.

(Shannon48) Shannon, C. A Mathematical Theory of Communication, Bell System Tech. Journal, 27, 1948, pp.379-423.

(Yao89) Yao, Y. Ve Freeman, W.J., Model of Biological Pattern Recognition with Spatially Chaotic Dynamics, Neural Networks, 3, 1989, pp.153-170.

(Yorke75) Li, T. Ve Yorke, J., Period Three Implies Chaos, Amer. Math. Monthly, 82, 1975, pp.985-992.

http://tr.wikipedia.org/wiki/Fraktal

KAOS TEORİSİ

1. Düzen düzensizliği yaratır.
2. Düzenin anlayamadığımız hali(kaos) varsa ki -illa ki olmalıdır- bundan dolayı düzensiz diyemeyiz. Yani düzenin dışına çıkmak imkânsızdır.
3. Düzensizliğin içinde de bir düzen vardır.
4. Düzen düzensizlikten doğar.
5. Yeni düzende uzlaşma ve bağlılık değişimin ardından çok kısa süreli olarak kendini gösterir.
6. Ulaşılan yeni düzen, kendiliğinden örgütlenen bir süreç vasıtasıyla kestirilemez bir yöne doğru gelişir.


her şey kaostan sonra

- her şeyden önce kaos vardı, dedi biri.
- her şey kaostan sonra var'oldu, dedi diğeri.
- her şey kaostan sonra "ol"du, diye tekrarladı öteki.
- her şey kaostan sonra olur, dedi başkası.
- nasıl?, diye sordu baştaki.
- çünkü kaos hala var.
- ve öyleyse her şey ondan sonra oluyor.
- ve her şey ondan sonra oluyor.
- her şey kaostan sonra oluyor.
- öyleyse kaos olmazsa hiçbir şey olmaz.
- kaos olmazsa hiçbir şey olmaz.
- öyleyse kaos her şeydir.
- kaos her şeydir.
- öyleyse her şey kaostur.
- her şey kaostur.

[hr}

Yunanca kelime " kháos", boş mekânı tanımlar. Hesiodos bununla başlangıçtaki uzayın yarılan boşluğunu tanımlar; Platon ise düzensiz başlangıçtaki maddeyi kasteder. Türkçede " Kaos " genel olarak " Kargaşa " anlamına gelir.


" Kaos teorisi " uygulamalı matematiğin, çok komplike dinamik sistemlerinin açıklanmasını konu alan bir bölümü için biraz belirsiz bir tanımlamadır. Uygulamalar fizik, astronomi, tıp, biyoloji, meteoroloji, kimya, informatik ve haber teknolojisi, bunun yanı sıra sosyoloji, ekoloji veya ekonomi bilim leri gibi çok farklı alanları ilgilendirmektedir. Araştırılan sistemelr her türlü türbülan, düzensiz dalgalanma, hava durumu, bağırsak solucanı veya insanların beyinlerindeki nevronal ağların oluşumu, iki düzen durumu arasında, örneğin bir çözelti ve bir kristal oluşumunun başlangıcı ya da sıvı ve buhar formundaki su arasındaki faz geçişleridir. Bütün bu sistemlerde " Belirlenimci kaos " bulunur. " Belirlenimci " denilir, çünkü sıkı ve kurallara bağlı olarak meydana gelir. Belirlenimci kaosun hâkim olduğu sistemlerin davranışı yine de hespalanamaz, çünkü sistemler başlangıç koşullarının en ufak değişimine reaksiyon gösterir ve asla istenildiği kadar kesin belirlenemezler. Örneğin meteorolojide " Kelebek Efekti " belirgin bir örnek olarak tanımlanır; buna göre Pekin'deki bir kelebeğin kanat çırpması, bir hafta sonra Karaipler'de bir hortuma sebeb olabilir. Bu nedenle bazı yayınlarda HeisenbergW 'in " Belirsizlik bağıntısı " ile bağlantılı olarak, başlangıç koşullarının " belirsizliği " söz konusudr, ki bu yine belirsizdir; çünkü birisi kuantum dünyasının temel özelliğini ve diğeri de doğal günlük dünyaki kestirilemeyen veri miktarını ilgilendirir.

Belirlenimci kaosta yine de kısa zaman aralıkları için tahminlerin yapılması, böylesi sistemlerin " kendine benzerliği " ve bunların" atratörlere " yönlendirilmesidir. Kendine benzerlik ile makro sistem formlarının küçük olanda kendini tekrar etmesi gerçekliği tanımlanır. Buna göre örneğin ağacın tepesinin biçimi köklerde de vardır, ela ağaçları elmaya benzer, siluetleri armut ağaçlarına göre daha yuvarlaktır, küme bulutlar her zaman aynı, diğer bulutlardan, karakteristik biçimde ayırt edebilen şekle sahiptir, dağların bölümleri dağın bütününe benzer ve bir sahilin kaba şekli, ayrı kesimlerde yine tekrar eder - bunlarn hepsi yüzde yüz aynı değildir, ancak fark edilir düzeyde benzerdir. Böylesi birbirine benzeyen teşekkülere " Fraktal "de denir. Bu kavramı ilk kez 1975 yılında Fransız matematikçi Benoit MandelbrotW yerleştirir; bir fraktal nokta miktarının tasviri için yapılan ünlü " elma adamcığı " modeli de ona aittir. Bu arada fraktallerin formülleri bilgisayar grafiklerinde, özellikle doğal etkili manzaraların gösteriminde rutin olarak kullanılır.

Atratörler bir sistemin akış yönünü belirleyen etki nicelikleridir. Bir dereceki su molekülü için akış yönü, yerçekimi, moleküllerin kendi aralarındaki birleşme kuvveti, rüzgar yönü ve kuvveti ile dere yatağının biçimi bu tip atraktörlerdir. Uçtaki büyük atratör olan " akış yönü " ile bir hiyerarşi oluştururlar. Dereye bir mantar atıldığında, bu herhangi bir zaman sonra bir sonraki   köprünün altından geçecektir, sadece ne zaman gerçekleştiği belirsizdir. Örneğin kendisini taşıyan su molekülleri ile dere kıyısındaki dönüş suyuna karışırsa bu oldukça uzun sürebilir, öyle ki sadece birkaç milimetre sola ya da sağa atılsa belki de bu olmayabilir. Hava tahmini gibi komplike sistemlerde, dikkate alınması gereken farklı çok fazla başlangıç koşulu, atratörler ve atraktör hiyeraşisinde çok daha büyük dalgalanmalar ve bunlara bağlı devasa hesaplama zorlukları bulunur.

Deterministik kaos, lineer olmayan rekürsif denklemlerle hesaplanır; Lineer olmayan denklemler grafik gösterimlerde asla doğru değil, bilakis hep eğridir, örneğin y=x2 veya y=sin x; ilk denklemin neticesinin bir sonrakine değer olarak beslendiği denklemler rekürsiftir. Örneğin muhakkak kaosa yönlendiren, bu tüden basit bir denklem şöyledir:

xt+1 = rxt ( 1-xt )

Burada xt+1, başlangıç koşulu olarak değer xt alınırsa, ortaya çıkan değerdir. Formülde xt yerine xt+1 konulursa vs. bir sonraki değer ortaya çıkar. Bu örnekte başlangıç koşulu xt için 0 ve 1 arasında, 1 ve 1#8242;in kendisi dışında istenilen her değer kabul edilebilir. Kaosa giden yolda belirleyici olan, kontrol parametresi denilen r 'dir. Bu 1 ise veya daha küçükse, yeterince devam edildiğinde hesaplama neticede bitiş noktası 0#8242;a varır ya da başka bir deyişle, xt için hangi başlangıç değeri alınırsa alınsın, bu durum o en büyük atratördür. r için 1 ile 3 arasındaki daha büyük değerler alındığında, r'nin artması ile birlikte atraktörün değeri de artar. 3#8242;ten sonra şaşırtıcı bir şey gerçekleşir: Hesap sonuçları iler geri sıçramaya ve iki atraktöre dağılmaya başlar; yaklaşık 3,45#8242;te bunlar dörte, 3,54#8242;ün üzerinde sekize ulaşır ve r=3,57#8242;den biraz önce akraktör düzeni sona erer, kaos ortaya çıkar: Ne kadar hesaplansa da hiçbir şey düzene girmez. Gariptir ki daha sonra, r için değerler yavaş yavaş 4#8242;e kadar yükseldiğinde, sürekli olarak düzen adaları ortaya çıkar.

Vakti olan, basit bir hesap makiesi ile bu denemeyi örnek olarak yapabilir.

---

1) KAOS TEOREMİ:

Kaos bazen günlük hayatta buzdağının görünen kısmı gibi bize sadece burnunun ucunu gösterir. Örneğin musluktan akan su bazen düzenli damlasa da bazen düzensiz biçimde damlar. kalbimiz çoğu zaman düzenli atsa da bazan çarpıntı yapar. Sigara dumanı belli bir yere kadar düzdün yükseliyor gibi gözükse de bir anda kırılmaya ve çalkalanmaya başlar. Borsada, önemli iç ve dış siyası olaylar olmadığı zamanlar bile düzensiz gibi gözüken sürekli bir dalgalanma vardır.

Kaos teoremi, böyle günlük yaşamda tanımlanabilen kaotik olayların arkasında yatan dinamikler olduğunu ve bunların Lineer olmayan (nonlineer) denklem sistemleri ile beli bir yere kadar tahmin edilebileceğini savunan matematiğin teoremidir (Belli bir yere kadar diyorum çünkü Kelebek etkisi yüzünden sürekli hesaplamaların imkansızlığı ortaya çıkıyor). Bu non lineer denklem sistemleri grafiğe döküldüğü zaman "atraktör" adı verilen şekiller ortaya çıkmaktadır.
 

Matematikteki kaos teoremi sayesinde kaotik birçok sistemlerin arkasında yatan düzen bulunmuştur birçoğu ise bulunmak üzeredir.
Örneğin kaos teoremi sayesinde borsada para kazanalar vardır. hatırlayacaksınız "BANKA" isimli filmde bu konu işleniyordu.

2) KELEBEK ETKİSİ:

Bir kelebek Çinde kanat çırpsa, kaliforniada kasırgaya sebep olabilir. Meteorolog Ed LOrenz tarafından, meteoroloji bilgisayarına verilerin küsuratlarının yanlış girilmesi sonucu babmaşka sonuçların ortaya çıkması yüzünden keşfediliyor. Hesaplanamayan her veri, her küsurat bir sonraki adımda katlanarak üst üste binecektir bu ise çok kısa süre sonra sistemi tahmin edilemez kılacaktır. Buna kaos dilinde "başlangıç koşullarına hassas bağlılık" deniyor.
Kelebek etkisi determinizmini kökünden yıkmıştır, determinizmin adeta sonu olmuştur.

Determinizm: Her hareketin hesaplanabnilen ve önceden tahmin edilebilen bir sonuç doğuracağı inanışına determinizm deniyor. Bu felsefi düşünce binlerce yıl önce eski yunanda ortaya çıktı ve 16. yy dan beri de bilimin bir parçası oldu. Sir Isaac Newton, modern bilimde determinizmin savunucularına en belirgin örnektir. Newton un öğretilerinin özünde determinizm yatar çünkü meydana gelen her olay, tümüyle olayın öncesinde ne olduğuna bağlı olmayı gerektirir. mesela bir örnek verecek olursak bir cisim belli bir yükseklikten yere atıldığı zaman yere ne zaman düşeceğini hesaplamak deterministik bir yaklaşımdır.

determinizm sayesinde Aya gidilmiştir, Uydular yörüngelerine oturtulmaktadır. Ama uzun vadede determinizme bel bağlamamak gerekir.

Kelebek etkisi yüzünden gelecek hiçbir zaman hesaplanamaz. Teorik olarak evrendeki her parametreyi hesaplayacak ve geleceği tahmin edecek bir bilgisayar yapılsa, her zaman için kesinlikle ihmal edilecek veriler olacaktır, bırakın ihmal edilecek verileri, bu bilgisayarın kendi kullandığı enerji ve bu hesaplamaları yaparken ortaya çıkacak enerji değişimleri bile geleceği tahmin etmeyi imkansız kılıyor.

"O golü de atmış olsaydık,kaçırmasaydık şimdiye iki sıfır galiptik..." Futboldan hiç anlamam ama böyle bir şeyin kelebek etkisi yüzünden mümkün olamayacağını söyleyebilirim. Zira o ilk gol atılsa idi, o andan itibaren bütün olayların gidişatı değişeceği için belki de malup bile olunabilirdi.

Hatırlayacaksınız birinci madededeki kaos teoremi deterministik bir yaklaşımdır.Nasıl oluyor diyeceksiniz hem kendisi deterministik oluyor aynı zamanda determinizmi çürütüyor. İŞte olayın özünde yatan düşüncelerden birisi de budur. Kaosçular bunu bir çelişki olarak görmüyorlar.

3) FRAKTAL GEOMETRİ:
 
Fraktal geometriden daha önce bahsedildiği için uzun uzun bu konuya girmeyeceğim. Bahsettiğimiz bu yeni anlayış, yeni bir geometri anlayışını da beraberinde getirmiştir. Doğaya baktığımız saman düz çizgiler, düz sınırlar yoktur, ölçek ne kadar küçültülürde küçültülsün sürekli kendini tekrarlayan bir yapı vardır. Fraktal geometri Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atılmıştır. Kıyıların uzunluğu fraktal geometri tarafından hesaplanır. Galaksi kümeleri de fraktal geometriye örnektir. Ayrıca hiçbir zaman birbirinin aynısı olmayan kar taneleri de tamamen fraktal geometri çerçevesinde oluşur.

Alıntı: Kaotika

---

Kaos kuramı, kaos teorisi veya kargaşa kuramı; yapısal olarak bir fizik teorisi ya da matematiksel bir tümevarım değil, fiziksel gerçeklik parçalarının bir bütün olarak eğilimini açıklamaya yarayan bir yöntemdir.

Bir sigara dumanının havada yaptığı şekiller tamamen düzensiz ve bağımsız rastlantıların ürünü olarak görülebilir. Ancak bir teorik fizikçi dumanın bu dinamiğinin aslında ortamdaki birçok parametre ve etken ile belirlendiği görüşündedir. Bu girdiler o kadar çoktur ve o kadar değişkendir ki incelemek ve net bir kanıya varmak imkânsızdır. Parametrelerin bu denli değişken olması aslında o parametrelerin de bir çıktı olmasından kaynaklanır. Dumanın hareketine neden olan hafif bir hava akımı aslında odanın başka yerindeki bir sıcaklık değişikliği ve basınç farkının neden olduğu bir harekettir. Ayrıca dumanın dinamiğini etkileyen girdiler birbirlerine bağlı olabilirler ki bu durumu tam anlamıyla içinden çıkılmaz hâle sokar. Sigara dumanı örneğine geri dönersek, hava akımının yalnızca sıcaklık değişiminden kaynaklandığını farz edelim (ki pratikte bu milyonlarca etkenden biridir). Sıcaklık değişimi ortamda basınç farkı yarattığından hava akımını etkiler. Ancak oluşan hava akımı sıcaklıkta tekrar değişimlere neden olacağından farklı girdilerle tekrar bir fonksiyon oluşturur ve bu değişim sonsuza kadar devam eder. Birçok farklı girdinin sürekli değişerek fiziksel değişimler ve farklı düzenler yaratması ve bu düzenlerin yine kendisini etkilemesi insan zekasının ve günümüzdeki gözlem ve bilimsel tahmin yeteneklerinin çok çok üstünde olmasından dolayı kaos olarak nitelendirilir. Oysa tüm bu değişimlere neden olan fiziksel yasalara ve matematiksel açıklamalara hakimiz. İşte bu noktada karşımıza düzen ve anarşinin aslında birbirine ne kadar sıkı sıkıya sarılmış olduğu ortaya çıkar. Fiziksel yasalar ne kadar basit olursa olsun sonuç o kadar rastlantısal ve karmaşa doludur.

Sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hâle getiren ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı. Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkânsızlığı bu popüler görüntüyle birleşince, bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar. Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile bu kuşkular giderek yok olmaktadır.

http://tr.wikipedia.org/wiki/Kaos_kuram%C4%B1